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导言
离镜子越远，看到的会越多吗
生日巧合问题
足球场彩带问题（1）
足球场彩带问题（2）
导言
你需要： 一面浴室镜、一张报纸、
一群人以及一些想象。
有人称之为常识，也有人称之为直觉，或者干脆称为之“有预感”。不管你怎样称呼，每个人或多或少都有自己的直觉。直觉就是那些帮助我们无需花太多时间去研究事物，从而直观地理解这个世界的那些东西。大多数时候，我们的直觉非常有用。但是，另一种现象是数学家和科学家们非常喜欢的，他们称之为“反直觉”。我必须承认，我本人最喜欢的，就是数学中那些“反直觉”的内容，尤其是那些似乎与我们的生活经验背道而驰的例子。
在开篇的第一章，我想集中讲述四个我一直最喜欢的反直觉例子，每一个都会让你从不敢相信，到惊讶万分，最后开怀大笑。
让我们看看你的直觉是怎样冒出来的吧。
离镜子越远，看到的会越多吗
离镜子越远，看到的会越多吗
假设一天早晨，你站在浴室镜前洗漱，正在抬眼看着镜中的自己。你会发现，自己紧靠洗脸盆而立，能够看到整个上半身，也就是说你可以看到的自己身体的最下部位是肚脐眼。
现在，你开始退后。在你后退时，你能够看到：
（a） 比之前更少的身体部位
（b） 与之前完全相同的身体部位
（c） 比之前更多的身体部位
请思考片刻。你也许曾在镜子前审视过自己几千次，答案应当足够明显。
你是否认为 （c）是正确答案，认为你在镜子前朝后退时，可以看到自己更多的身体部位？大多数人会这样认为。这似乎是合理的，毕竟，当你在商店中试穿新衣服的时候，退后几步，获得更佳的视角是再正常不过的事。
然而，这个答案并不正确。
第二个被大多数人认同的答案是 （a）。因为你远离镜子时，你的图像变得更小，因此，从那种感觉而言，你看到的是自己更少的身体部位，但是，这并没有回答“你是否能够看到肚脐眼以上部位还是以下部位”这个问题。
事实上，（a）也是错误的。正确答案是（b）——从镜子前退后几步，你能看到的身体部位不会增多，也不会减少。对多数人而言，这一答案不可思议。事实上，这一答案一经说出，任何人都有可能立即起身，到浴室镜子前看个究竟。你现在可能也产生了那样的想法。
严格说来，（b）答案只有符合以下两个条件才可说是正确的，其一，镜子必须是垂直的，其二，地板必须是水平的（大多数镜子和地板确实符合这两点，但不是商店里倾斜的镜子）。当然，你绝不能在靠近镜子的时候弯腰趴在上面（我听说有一些反对者趴在洗脸台上，大声抗议说，我现在都能看到脚趾了）。
这个关于镜子的问题，就是一个反直觉的鲜活例子。我们所有的常识都指向同一个方向，然而在这一例子中，这个方向是错的。你想返回到镜子前看个究竟的这种惊奇的感觉，正是在数学世界里可以经常发现的。亲身体验了之后，大多数人不再怀疑。但另一些人，也许就包括你，脑海里还有一个问题：为什么？而当你发问的时候，你就真正在接触数学。
在镜子的示例中，这个“为什么”是极易解释的。在镜子前，你看到的东西是光线从你的身体周围穿过去，在镜子上反射回来的图像。下面是一个简图，描述你照镜子时的情形。
假设你的眼睛高出镜子的底边 30 厘米。如果你站直了，这意味着你可以从中看到的身体部位，也就是在镜子底边 30 厘米以下的部位（这是因为光线以同一个角度反射回来）。当你从镜子前退后时，你的眼睛仍然高出镜子底边 30 厘米，那是不会变化的。因此，无论你前进或后退，你总是看到自己肚脐眼左右的部位。
这就是以一种极为通俗的方法对镜子问题进行的数学论证。也许没有令你信服，也许你对此不感兴趣，甚至还似乎觉得有违你的直觉，但事实确实就是这样。你可以试几次，也可以讨论讨论。对我来说，这就是最好的数学。
生日巧合问题
生日巧合问题
刚才，你的直觉经受了挑战，现在，让我们再举另一个常见的例子。假如你正参加一场婚礼，婚礼中老老少少共有50位客人。大家在随意闲聊，有人突然问，“我在想，在这场婚礼中，是不是有两位客人的生日在同一天——两人不一定同年，而只是同一天过生日，比如5月5日等等，这样的概率有多大呢？”
众所周知，一年有365天。因此，在这个50人的小型婚礼中，要找出同一天过生日的两个人，你的直觉会告诉你，概率有多大呢：
（a） 不用大惊小怪，这些人中肯定有两人会是同一天过生日。
（b） 似乎这种概率是50%。
（c） 你可能会感到很诧异。这只会出现在，比如说，7倍这种规模的婚礼上（即350人）。
（d） 你也许会觉得有点疯狂吧。这件事情要是发生，无异于一个根本不懂赛马的人赢得一场赛马比赛。
我们都在生活中碰到过许多次巧合，以至于对某些事情的概率大小积累了某种直觉。然而，当巧合真的来到你身边，我们的直觉可能与现实存在很大的距离。如果你向一群成年人问这道关于生日的问题，大部分人都会因为巧合而感到惊讶。多数人的回答不是（c）就是（d）。还有些人也许听说过这道题，隐约记得答案是50%，因此有信心地选择 （b）。然而，只有（a）才是正确答案——房间里有50个人，事实上，至少有两个人同一天过生日，几乎是确凿无疑的事情。假如50个人的生日在日历上平均分布，那么，两人同一天过生日的概率是97%，因此，你可能料想，参加30个这种规模的聚会，不存在生日巧合的聚会只有1个。
如果你希望生日巧合的概率为50%，那么，你只需参加23个人的聚会便可。数学家罗伯特·马休斯想出一种简便方式来进行23个人的“随机组合”，就是选取参加足球比赛的两支队伍，再加上主裁判。如果你在周末的足球赛事中一一核对球员和裁判的生日，在一半场次的比赛中，你会发现，球场上23人中，会有两个人同一天过生日。
而事实上，这种概率甚至比我说的还要大，因为生日不会平均地分布在一年365天之中，有几个月比其他月份出生的人更集中。通常情况下，9月份出生的人比其他月份出生的人要多，这给了我们一个暗示，那些圣诞舞会上一定发生了什么（译者注：圣诞节为每年的12月25号，如果一个女人在圣诞舞会上与一个男人发生关系并怀孕，9个月后，小孩便会出生）。这种聚集现象将生日巧合概率提高了好几个百分点。
人们对这一结果如此惊奇，部分原因在于我们将两个特定的人同一天过生日的概率，与任意的两个人同一天过生日的概率混淆了。在一个50人的群体中，要组成不同的一对人，你可以找到上千对——甲和乙、甲和丙、甲和丁、乙和丙，乙和丁、丙和丁等等，因此，在这么多两人一组的组中，要找出同一天过生日的一组，就不会让人惊奇不已了。
如果你喜欢，你可以真的为特定数目的人群描述一张生日巧合曲线图。
但是，为什么只需要23个人，就可以获得50%的生日巧合概率呢？这是怎样算出来的呢？有一种较难的方法和一种相对容易的方法。较难的方法就是，生日巧合意味着可能有多种不同的情况：两个人同一天生日，或者3个人或者两对不同的人同一天生日，或者是有5个人同一天过生日，再加上一个单独的3人组。为了计算这种巧合的概率，你可以逐一地列举数千种不同的情形，然后为每一对标出他们的巧合概率。另一种方法，就是统计学家经常用到的方法，即：在一个23人的群体中，每个人都拥有与别人不同的生日，这种概率有多大？当我们算出来时，不管得出什么结果，必定是房间里至少有两个人是在同一天过生日。
23个人的群体，其生日巧合的概率是 365/365 × 364/365× 363/365，依此类推，直到算到343/365，得出的结果是0.493，足够接近50%。
知道了这个问题的答案，你是否感觉更好？如果没有，别担心，后面还有。
足球场彩带问题（1）
足球场彩带问题
弗林普顿联队夺得了联赛冠军，俱乐部决定举行一场庆功会。球场管理员买来一些彩带——将小旗子串成一串——沿着球场的边线一字排开。这样做，目的是使球员们从位于看台中央的更衣室出来，然后从彩带下穿过跑着进入球场。足球场的边线长100米，而球场管理员买了101米长的彩带，他将彩带系紧在两端的角旗上。俱乐部经理发现了，开始质问球场管理员：“你怎么只多买了1米的彩带？如果把它从中间举起来，高度足够让球员们入场吗？”
如果举起彩带，会是哪种情况：
（a） 彩带拉得太紧，球员们勉强能够弯腰钻过去。
（b） 如果他们蜷缩得很矮的话，能够入场。
（c） 大多数球员根本无需弯腰就可以入场（意即少部分特别高的球员也许需要弯腰入场）。
到目前为止，你自然会怀疑这里面有文章。本章涉及各种各样令人惊奇的反直觉事例，不论你选择哪个答案，往往都不正确。因此，在这个三张牌的游戏里，你将选择哪一张，（a），（b）还是（c）？尽管有1米的余量，但它在很长的距离上被拉着，因此，你的直觉会告诉你选（a），就是说彩带几乎不能被举起来。但由于这可能是一个陷阱，你会选择（b）或者（c）。
然而，在这一例子中，所有三个答案都是错误的。不仅所有球员能够舒服地在彩带下走过，而且他们如果抬着教练入场，教练也可以不受拘束地通过，有足够的空间。只要彩带多出1米，就可以在中心举出5米的高度。
足球场彩带问题（2）
或许在这种情况下，直觉出现了错误，是因为它觉得，在很长的距离上“共享”1米彩带，好比5000人共享5片面包——换言之，你不能期望它能够被举起多高。但在这一示例中，正是几何学在发挥作用：彩带与足球场边线形成了一个长而细的三角形，使用毕达哥拉斯的古老定理（译者注：即勾股定理），可以求出精确的数字。
假设你自己站在球场边线的中间点。彩带的一半与足球场边线的一半形成了一个两条边非常长的直角三角形，好比这样：
三角形的底边为50米，长边（斜边）为50.5米。我们需要知道三角形有多高，因为这是球员必须穿过的空间。你也许很小的时候就学过，直角三角形斜边的平方等于另外两条边的平方和，这就是毕达哥拉斯定理。运用这一定理，可以计算出三角形的高度为超过7米，或者是23英尺，足足可以通过一台双层巴士。
但是，让我感兴趣的并不是这里包含的数学原理，而是答案中充满的惊奇。
……