旧唐书 ·821·
志第十四
历三
开元《大衍历经》
演纪上元阏逢困敦之岁，距今开元十二年甲子岁，岁积九
千六百六十六万一千七百四十算。
大衍步中朔第一
大衍通法：三千四十。
策实：一百一十一万三百四十三。
揲法：八万九千七百七十三。
灭法：九万一千三百。
策馀：一万五千九百四十三。
用差：一万七千一百二十四。
挂限：八万七千一十八。
三元之策：一十五；馀，六百六十四；秒，七。
四象之策：二十九；馀，一千六百一十三。
中盈分：一千三百二十八；秒，十四。
爻数：六十。
象统：二十四。
推天正中气以策实乘入元距所求积算，命曰中积分。盈大
衍通法得一，为积日。不盈者，为小馀。爻数去积日，不尽日
为大馀。数从甲子起算外，即所求年天正中气冬至日及小馀也。
求次气因天正中气大小馀，以三元之策及馀秒加之。其秒
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旧唐书 ·822·
盈象统，从小馀。小馀满大衍通法，从大馀。大馀满爻数，去
之。命如前，即次气恆日及馀秒。凡率相因加者，下有馀秒，
皆以类相从。而满其法，则迭进之，用加上位。日盈爻数，去
之也。
推天正合朔以揲法去中积分。其所不尽，曰归馀之卦。以
减积积分，馀为朔积分。乃如大衍通法而一，为日。不尽，为
小馀。日盈爻数，去之。不盈者，为大馀。命以甲子算外，即
所求年天正合朔经日及小馀也。
求次朔及弦望因天正经朔大小馀，以四象之策及馀加之。
数除如法，即次朔经日及馀也。又自经朔加一象之日七及馀一
千一百六十三少，得上弦。倍之，得望。参之，得下弦。四之，
是谓一揲，复得后月之朔。凡四分一为少，二为半，三为太，
四为全。加满其前数，去之，从上位。综中朔盈虚分，累益归
馀之卦，每其月闰衰。凡归馀之卦五万六千七百六十以上，其
岁有闰。因考其闰衰，满卦限以上，其月及合置闰。或有进退，
皆以定朔无中气裁焉。
推没日置有没之气恆小馀，以象统乘之，内秒分，参而伍
之，以减策实。馀满策馀，为日。不满，为没馀。命起也。凡
恆气小馀，不满大衍通法，如中盈分半法已下，为有没之气。
推灭日以有灭之朔经小馀，减大衍通法。馀，倍参伍乘之，
用减灭法。馀，满朔虚分，为日。不满，为灭馀。命起经朔初
日算外，即合朔后灭日也。凡经朔小馀不满朔虚分者，为有灭
之朔。
大衍步发敛术第二
天中之策：五；馀，二百二十二；秒，三十一。秒法：七
十二。
地中之策：十八；馀，一百六十五；秒，八十六。秒法：
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旧唐书 ·823·
一百二十。
贞晦之策：三；馀，一百三十二；秒，一百三。秒法：如
前。
辰法：七百六十。
刻法：三百四。
推七十二候各因中节大小馀命之，即初候日也。以天中之
策及馀秒加之，数除如法，即次候日。又加，得末候日。凡发
敛，皆以恆气。
推六十卦各因中气大小馀命之，公卦用事日也。以地之策
及馀秒累加之，数除如法，各次卦用事日。若以贞晦之策加诸
候卦，得十二节之初外卦用事日。
推五行用事各因四立大小馀命之，即春木、夏火、秋金、
冬水首用事日也。以贞晦之策及馀秒，减四季中气大小馀，即
其月土始用事日。凡抽加减而有秒者，母若不齐，当令母互乘
子。乃加减之。母相乘为法。
推发敛去朔各置其月闰衰，以大衍通法约之，为日。不尽
为馀，即其月中气去经朔日算及馀秒也。求卦候者，各以天地
之策及馀秒累加减之，中气之前以减，中气之后以加。得去经
朔日算及馀秒。
推发敛加时各置其小馀，以六爻乘之，如辰法而一，为半
辰之数。不尽者，五之，三刻法除之，为刻。又不尽者，三约
为分。此分满刻法为刻，若令满象积为刻者，即置不尽之数，
十之，十九而一，为分。命起子半算外，各其加时所在辰刻及
分也。
大衍步日躔术第三
乾实：一百一十一万三百七十九太。周天度：三百六十五。
虚分七百七十九太。
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旧唐书 ·824·
岁差：三十六太。
求每日先后定数以所入气并后气盈缩分，倍六爻乘之，综
两气辰数除，入之，为末率。又列二气盈缩分，皆倍六爻乘之，
各如辰数而一，以少减多，馀为气差。加减末率，至后以差加，
分后以差减。为初率。倍气差，亦六爻乘之，复综两气辰数以
除之，为日差。半之，以加减初末，各为定率。以日差累加减
气初定率，至后以差减，分后以差加。为每日盈缩分。乃驯积
之，随所入气日加减气下先后数，各其日定。冬至后为阳复，
在盈加之，在缩减之。夏至后为阴复，在缩加之，在盈减之。
距四正前一气，在阴阳变革之际，不可相并，皆因前末为初率。
以气差至前加之，分前减之，为末率。馀依前率，各得所求。
其朓朒亦放此求之，各得每日定数。其分不满全数，母又每气
不同，当退法除之，用百为母，半已上从一，已下弃之。下求
轨漏，馀分不满准此。
推二十四气定日冬夏至皆在天地之中，无有盈缩。馀各以
气下先后数，先减后加恆气小馀。满若不足，进退其日。命从
甲子算外，各其定日及馀秒也。凡推日月行度及轨漏交蚀，并
依定气。若注历即依恆气也。
推平朔四象以定气相距置朔弦望经日大小馀，以所入定气
大小馀及秒分减之，各其所入定气日算及馀秒也。若大馀少不
足减者，加爻数，然后减之。其弦望小馀有少半太，当以爻乘
之，乃以气秒分减，退一加象统。小馀不足减，退日算一，加
大衍通法也。
求朔弦望经日入朓朒各置其所入定气日算及馀秒。减日算
一，各以日差乘而半之，以加减其气初定率，前少，加之；前
多，减之。以乘其所入定气日算及馀秒。凡除者，先以母通全，
内子，乃相乘，母相乘除之也。若忽微之数烦多而不甚相校者，
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旧唐书 ·825·
过半收为全，不盈半法，弃之。所得以损益朓朒积，各为其日
所入朓朒定数。若非朔望有交者，以十二乘所入日算。三其小
馀，辰法除而从之。以乘损益率，如定气辰数而一。所得以损
益朓朒积，各为定数也。
赤道宿度
右北方七宿九十八度虚分七百七十九太
右西方七宿八十一度
右东方七宿七十五度
前皆赤道度。其毕、觜、参及舆鬼四宿度数，与古不同，
今并依天以仪测定，用为常数。纮带天中，仪极攸凭，以格黄
道也。推黄道，准冬至岁差所在，每距冬至前后各五度为限。
初数十二，每限减一，尽九限，数终于四。殷二立之际，一度
少强，依平。乃距春分前、秋分后，初限起四，每限增一，尽
九限，终于十二，而黄道交复。计春分后、秋分前，亦五度为
限，初数十二，尽九限，数终于四。殷二立之际，一度少强，
依平。乃距夏至前后，初限起四，尽九限，终于十二。皆累裁
之，以数乘限度，百二十而一，得度。不满者，十二除为分。
若以十除，则大分。十二为母，命以太半少及强弱。命曰黄赤
道差数。二至前后，各九限，以差减赤道度，为黄道度。二分
前后，各九限，以差加赤道度，为黄道度。若从黄道度反推赤
道，二至前后各加之，二分前后须减之。
黄道宿度
右北方九十七度六虚之差十九太
右西方八十二度半
右南方一百一十度半
右东方七十五度少
前皆黄道度。其步日行月与五星出入，循此。求此宿度，
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旧唐书 ·826·
皆有馀分。前后辈之成少、半、太，准为全度。若上考古下验
将来，当据岁差。每移一度，各依术算，使得当时宿度及分，
然可步日月五星，知其犯守也。
推日度以乾实去中积分。不尽者，盈大衍通法为度。不满，
为度馀。命起赤道虚九，去分。不满宿算外，即所求年天正冬
至加时日所在度及馀也。以三元之策累加之，命宿次如前，各
得气初日加时赤道宿度。
求黄道日度以度馀减大衍通法。馀以冬至日躔之宿距度所
入限乘之，为距前分。置距度下黄赤道差，以大衍通法乘之，
减去距前分。馀，满百二十除，为定差。不满者，以象统乘之。
复除，为秒分。乃以定差及秒减赤道宿度。馀，依前命之，即
天正冬至加时所在黄道宿度及馀也。
求次定气置岁差，以限数乘之，满百二十除，为秒分。不
尽为小分。以加于三元之策秒分，因累而裁之，命以黄道宿次
去之，各得定气加时日躔所在宿及馀也。
求定气初日夜半日所在度各置其气定小馀，副之，以乘其
日盈缩分，满大衍通法而一，盈加缩减其副，用减其日时度馀，
命如前，各其日夜半日躔行在。求次日，各因定气初日夜半度，
累加一策，乃以其日盈缩分，盈加缩减度馀，命以宿次，即半
日所在度及馀也。
大衍步月离术第四
转终分：六百七十万一千二百七十九。
转终日：二十七；馀，一千六百八十五；秒，七十九。
转法：七十六。
转秒法：八十。
推天正经朔入转以转终分去朔积分，不尽，以秒法乘，盈
转终分又去之，馀如秒法一而入转分。不尽为秒。入转分满大
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旧唐书 ·827·
衍通法，为日。不满为馀。命日算外，即所求年天正经朔加时
入转日及馀秒。
求次朔入转因天正所入转差日一、转馀二千九百六十七、
秒分一，盈转终日馀秒者去之。数除如前，即次日经朔加时所
入。考上下弦望，如求经朔四象术，循变相加，若以经朔望小
馀减之，各其日夜半所入转日及馀秒。
求朔弦望入朓朒定数各朔其所入日损益而半之，为通率。
又二率相减为率差。前多者，以入馀减大衍通法，馀乘率差，
盈大衍通法得一，并率差而半之。前少者，半入馀，乘率差，
亦以大衍通法除之，为加时转率。乃半之，以损益加时所入，
馀为转馀。其转馀，应益者，减法；应损者，因馀。皆以乘率
差，盈大衍通法得一，加于通率。转率乘之，大衍通法约之，
以朓减朒加转率为定率。乃以定率损益朓朒积为定数。其后无
同率者，亦因前率，益者以通率为初数，半率差而减之。应通
率，其损益入馀，进退日者，分为二日，随馀初末如法求之，
所得并以损益转率,此术本出《皇极历》，以究算术之微变。若
非朔望有交者，直以入馀乘损益，如大衍通法而一，以损益朓
朒为定数，各得所求。
七日初：二千七百一，约为大分八。末：三百三十九，约
为大分一。
十四日初：二千三百六十三，约为大分七。末：六百七十
七，约为大分二。
二十一日初：二千二十四，约为大分六。末：一千一十六，
约为大分三。
二十八日初：一千六百八十六，约为大分五。末：一千三
百五十四，约为大分四。
右以四象约转终日及馀，均得六日二千七百一分。就全数
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旧唐书 ·828·
约为大分，是为之八分。以减法，馀为末数。乃四象驯变相加，
各其所当之日初末数也。视入转馀，如初数以下者，加减损益，
因循前率；如初数以上，则反其衰，归于后率云。
求朔弦望定日及馀以入气、入转朓朒定数，同名相从，异
名相消。乃以朓减朒加四象经小馀。满若不足，进大馀。命以
甲子算外，各其定日及小馀。干名与后朔叶同者，月大。不同
者，小；无中气者，为闰月。凡言夜半者，皆起晨前子正之中。
若注历观弦望定小馀，不盈晨初馀数者，退一日。其望，小馀
虽满此数，若有交蚀，亏初起在晨初已前者，亦如之。又月行
九道迟疾，则三大二小。以日行盈缩，累增损之，则容有四大
三小，理数然也。若俯循常仪，当察加时早晚，随其所近而进
退之，使不过三小。其正月朔，若有交加时正见者，消息前后
一两月，以定大小，令亏在晦二。
推定朔弦望夜半日所在度各随定气次日以所直日度及馀分
命焉。若以五星相加减者，以四约度馀。乃列朔弦望小馀，副
之，以乘其日盈缩分，如大衍通法而一，盈加缩减其副，以加
其日夜半度馀，命如前，各其日加时日躔所次。
推月九道度凡合朔所交，冬在阴历，夏在阳历，月行青道。
冬、夏至后，青道半交在春分之宿，殷黄道东。立冬、夏后，
青道半交在立春之宿，殷黄道东南。至所冲之宿亦如之也。冬
在阳历，夏在阴历，月行白道。冬至夏至后，白道半交在秋分
之宿，殷黄道西。立北。至所冲之宿亦如之也。春在阳历，秋
在阴历，月行硃道。春、秋分后，硃道半交在夏至之宿，殷黄
道南。立春立秋后，硃道半交在立夏之宿，殷黄道西南。至所
冲之宿亦如之也。春在阴历，秋在阳历，月行黑道。春、秋分
后，黑道半交在冬至之宿，殷黄道北。立春立秋后，黑道半交
在立冬之宿，殷黄道东北。至所冲之宿亦如之也。四序离为八
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旧唐书 ·829·
节，至阴阳之始交，皆以黄道相会，故月有九行。各视月交所
入七十二候，距交初黄道日每五度为限。交初交中同。亦初数
十二，每限减一，数终于四，乃一度强，依平。更从四起，每
限增一，终于十二，而至半交，其去黄道六度。又自十二，每
限减一，数终于四，亦一度强，依平。更从四起，每限增一，
终于十二，复与日轨相会。各累计其数，以乘限度，二百四十
而一，得度。不满者，二十四除，为分。若以二十除之，则大
分。十二为母，命以半太及强弱也。为月行与黄道差数。距半
交前后各九限，以差数为减；距正交前后各九限，以差数为加。
此加减是出入六度，单与黄道相交之数也。若交赤道，则随气